內容簡介

　　現行高等微積分教本，內容多，取材深，不能與初等微積分教材配合，本書內容取材，是介於初等微積分與高等微積分之間，以基本理論為主，例題應用為輔，藉以補充初等微積分教材之不足，做為學習高等微積分之參考。本書是先講函數的連續概念，再講函數的極限概念，進而討論兩者的關係，這是與其它各書講述不同的地方，事實上，函數連續概念與極限概念相差甚微。但差之毫釐則謬之千里，讀者不可不慎。

目次

序　言

第一章　集合與函數　

1-1　集合簡介2

1-2　函數6

1-3　反函數12

1-4　有限集合、可數與不可數集合14

本章習題20

第二章　實數系

2-1　引言24

2-2　體公設24

2-3　有序體、大小關係33

2-4　最小上界、最大下界、實體的完備性40

2-5　小數、無理數、平方根48

2-6　絕對值52

本章習題57

第三章　度量空間　

3-1　歐氏空間62

3-2　向量的代數運算63

3-3　度量空間69

3-4　拓樸基本概念71

3-5　實數數列83

3-6　完備度量空間89

3-7　緊緻集合93

本章習題99

第四章　連續函數與極限　

4-1　連續函數104

4-2　連續函數的基本性質106

4-3　實函數111

4-4　函數的極限115

4-5　在緊緻度量空間上的連續函數121

4-6　函數序列，C(X)空間128

本章習題136

第五章　微　分　

5-1　導數142

5-2　導數的基本公式147

5-3　平均值定理149

5-4　羅比達法則158

5-5　其它不定型165

5-6　泰勒定理167

5-7　微分173

本章習題176

第六章　里曼積分　

6-1　里曼積分182

6-2　積分存在定理、可積分函數189

6-3　可積分的函數198

6-4　積分的基本性質204

6-5　積分平均值定理214

6-6　微積分基本定理219

6-7　定積分是里曼和的極限225

6-8　定積分中的變數變換231

本章習題235

第七章　無限級數　

7-1　無限級數242

7-2　級數的基本定理245

7-3　非負項級數與正項級數的定理248

7-4　絕對收斂與條件收斂258

7-5　函數序列的積分與微分264

7-6　函數級數268

7-7　冪級數、收斂區間271

7-8　冪級數的微分與積分280

7-9　泰勒級數284

本章習題290

第八章　多變數函數的微分　

8-1　偏導數298

8-2　高階偏導數305

8-3　多變數函數的微分310

8-4　連鎖規律319

8-5　方向導數、梯度323

8-6　二變數函數的泰勒定理336

8-7　隱函數存在定理339

8-8　二變數函數的相關極大值與極小值347

8-9　拉格蘭日乘數法357

8-10 由積分定義的函數365

本章習題373

第九章　多重積分　

9-1　引論380

9-2　重積分381

9-3　重積分的基本性質389

9-4　可積分的非連續函數392

9-5　逐次積分、重積分的算法393

9-6　在非長方形上的重積分401

9-7　重積分是里曼和的極限412

9-8　三重積分414

9-9　體積419

本章習題428

第十章　線積分、重積分的變數變換

10-1　曲線434

10-2　線積分的定義435

10-3　格林定理441

10-4　面積445

10-5　線積分與路線無關的條件447

10-6　重積分的變數變換453

本章習題463

第十一章　瑕積分

11-1　瑕積分468

11-2　瑕積分、柯西主值469

11-3　瑕積分收斂、發散判別定理473

11-4　絕對收斂、條件收斂488

11-5　一致收斂的瑕積分495

11-6　一致收斂瑕積分的應用501

11-7　瑕積分、柯西主值506

11-8　瑕積分收斂、發散判別定理511

11-9　伽瑪函數519

本章習題522

參考書目525

索引527